ISBN、JAN、ASINについて、管理元の公式ページを元にまとめてみました。
ISBN
ISBN（国際標準図書番号：International Standard Book Number）は、固有の書籍出版物を発行形態別、1書名ごとに識別するユニークなコードとして、今では世界117の国と地域（2011.6現在）で発行される書籍に表示されています。
https://isbn.jpo.or.jp/index.php/fix__about/fix__about_1/
日本の国番号は9784です。
（ココの国番号一覧より）
ISBNの桁数
ISBNの桁数は現在は13桁ですが、2006年までは10桁でした。
An ISBN is an International Standard Book Number. ISBNs were 10 digits in length up to the end of December 2006, but since 1 January 2007 they now always consist of 13 digits.
https://www.isbn-international.org/content/what-isbn
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ISBNとは、国際標準図書番号のことです。2006年12月末までは10桁でしたが、2007年1月1日からは常に13桁の数字で構成されるようになりました。
（Deep L翻訳）
JAN
JANコードは「どの事業者の、どの商品か」を表す、世界共通の商品識別番号です。（略）JANコードは日本国内での呼び方です（JANとはJapanese Article Numberの略）。
https://www.dsri.jp/jan/about_jan.html
国際的にはEAN（European Article Number)コード、あるいは、GTIN-13、GTIN-8と呼ばれます。
書籍JANコード
“書籍JANコードは、2段のバーコードで構成されています。1段目は｢978｣から始まる国際標準コードのISBN（International Standard Book Numbering）用バーコードです。2段目は、日本独自の図書分類と税抜き本体価格です。”
https://www.dsri.jp/code/jan_publication/
ASIN
「ASIN」は、「Amazon Standard Identification Number」の略で、Amazonグループが取り扱う、書籍以外の商品を識別する10桁の固有番号で、Amazonサイトの商品詳細ページに表示されています。書籍の場合、Amazon.co.jp カタログではASINはISBNの番号が使用されています
https://www.amazon.co.jp/gp/seller/asin-upc-isbn-info.html
ここで、ISBNは13桁、ASINは10桁と桁が合わないのですが、Amazonの書籍商品を見る限り、2007年以降のISBNが13桁の商品もAmazonではISBN-10という表記を継続しており、それをASINとして使っています。
ISBN13桁→10桁は先頭の978をとって最後のチェックディジットを変更したものになっています。（チェックディジットの算出方法は下の補足に記載）
まとめ
上記をまとめると、書籍については、
ISBN＝JAN（の１段目）＝ASIN（ISBNの先頭978を取って最後のチェックディジットを変えたもの）
ということになります。
基本的には全世界共通の書籍番号をキーにしているということですね。すばらしい！
以下補足です。
ISBNのチェックディジット
ISBNの最後の桁はチェックディジットです。
13桁のISBNのチェックディジットはModulus 10 Weight 3:1 です。
ISBNユーザーズマニュアルの APPENDIX1 に計算方法が載っています。
（ISBN#チェックディジットーWikipediaも同じです）
ISBN10桁から13桁への変換
A 10-digit ISBN cannot be converted to 13-digits merely by placing three digits in front of the 10-digit number. There is an algorithm that frequently results in a change of the last digit of the ISBN.
https://www.isbn.org/about_ISBN_standard
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10桁のISBNは、10桁の数字の前に3桁の数字を置くだけでは13桁に変換できません。ISBNの下一桁が変更されることが多いアルゴリズムがあります。（Deep L翻訳）
逆に言えば、10桁から13桁へ変換するには先頭に978を付与し、最後のチェックディジットを変更すればよいということです。
※Bowkerは米国のISBNエージェンシーです。
10桁ISBNのチェックディジット
10桁のISBNのチェックディジットはModulus 11 Weight 10to1 です。あまりが10の場合、チェックディジットはローマ字の”X”になります。
The method of determining the check digit for the ISBN is the modulus 11 with the weighting factors 10 to 1. The Roman numeral X is used in lieu of 10 where ten would occur as a check digit.
https://www.isbn.org/faqs_general_questions#isbn_faq5
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ISBNのチェックデジットの決定方法は、加重係数10から1のモジュラス11であり、チェックデジットとして10が発生する10の代わりにローマ数字のXを使用しています。（Deep L翻訳）
これも上に書いたWikipediaのISBNの記事中の算出方法は同じです。
ASINの今後
上ではAmazonは、ISBNの13桁を10桁にしたものをASINとして使用していると書きました。これは先頭3桁のプレフィックスが978固定の場合に、対応できるものです。
そもそもISBNを10桁から13桁に増やしたのは番号が不足するためであり、事実、アメリカではプレフィックス979がまもなく始まると言います。
The United States ISBN Agency will soon begin assigning ISBNs starting with the prefix element 979 (in addition to the ISBNs with prefix element 978 we currently assign).
https://www.isbn.org/about_ISBN_standard
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米国ISBN庁では、現在割り当てているプレフィックス978のISBNに加え、プレフィックス979から始まるISBNの割り当てを近日中に開始する予定です。（Deep L翻訳）
こうなると、979始まりのISBNは10桁に戻せないわけで、Amazonが何かしらの対応をすると思います。
日本の書籍については、「日本図書コード管理センター」のサイトにそのような記述はないのでしばらくは大丈夫なのかもしれません。
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